Định luật Benford là gì và vì sao dùng để soi số liệu đáng ngờ

Định luật Benford nói rằng trong rất nhiều bộ số liệu tự nhiên, chữ số đầu tiên là 1 chiếm khoảng 30% trường hợp, còn chữ số 9 chỉ chiếm chưa tới 5%. Vì số do con người bịa ra thường rải đều các chữ số hơn, kiểm toán viên và nhà thống kê dùng quy luật này như một phép sàng lọc ban đầu: bộ số lệch xa đường cong Benford đáng được xem kỹ hơn. Nhưng lệch không có nghĩa là gian lận, và có nhiều loại số liệu vốn không tuân theo định luật này.

Một cuốn sách logarit mòn không đều

Câu chuyện bắt đầu từ thời chưa có máy tính, khi người ta tra bảng logarit in sẵn để nhân chia số lớn. Năm 1881, nhà thiên văn Mỹ gốc Canada Simon Newcomb để ý rằng những trang đầu của cuốn bảng logarit, nơi ghi các số bắt đầu bằng 1, bị sờn bẩn hơn hẳn những trang cuối. Ông viết một ghi chú ngắn trên tạp chí American Journal of Mathematics, nêu rằng chữ số đầu nhỏ xuất hiện thường xuyên hơn chữ số đầu lớn, kèm một công thức. Ghi chú này gần như bị quên lãng.

Năm 1938, kỹ sư vật lý Frank Benford làm việc tại General Electric phát hiện lại hiện tượng đó và đi xa hơn nhiều. Trong bài "The Law of Anomalous Numbers" đăng trên Proceedings of the American Philosophical Society, ông tập hợp hơn 20.000 con số từ 20 nguồn rất khác nhau: diện tích sông, dân số, hằng số vật lý, số nhà trong danh bạ, trọng lượng phân tử. Phần lớn đều cho cùng một phân bố. Tên ông gắn với định luật từ đó, dù Newcomb là người nói trước, một ví dụ điển hình cho việc phát hiện khoa học thường mang tên người làm nó nổi tiếng chứ không phải người đầu tiên.

Con số cụ thể: chữ số đầu xuất hiện bao nhiêu phần trăm

Theo định luật Benford, xác suất để chữ số đầu là d bằng log₁₀(1 + 1/d). Tính ra:

Chữ số 1 xuất hiện ở đầu nhiều gấp khoảng 6,5 lần chữ số 9. Định luật còn mở rộng cho chữ số thứ hai, thứ ba, với độ chênh nhỏ dần: tới chữ số thứ tư thì phân bố gần như đều.

Vì sao lại như vậy: trực giác của sự tăng trưởng

Hãy hình dung một khoản tiền gửi tăng 10% mỗi năm, bắt đầu từ 1 triệu đồng. Để lên 2 triệu, nó cần khoảng 7 năm (tăng gấp đôi). Từ 2 lên 3 triệu chỉ cần hơn 4 năm. Từ 9 lên 10 triệu chỉ mất khoảng một năm. Rồi khi chạm 10 triệu, nó lại bắt đầu một quãng dài với chữ số đầu là 1. Nếu bạn chụp con số ấy vào một thời điểm ngẫu nhiên, khả năng cao là bạn bắt gặp nó ở quãng "1 chấm gì đó".

Nói theo ngôn ngữ toán: những con số tăng theo cấp số nhân, hoặc trải dài qua nhiều bậc độ lớn, có xu hướng phân bố đều trên thang logarit. Mà trên thang logarit, khoảng từ 1 đến 2 rộng hơn hẳn khoảng từ 9 đến 10.

Một lý do nữa rất đẹp là tính bất biến theo đơn vị. Nếu có một quy luật chung cho chữ số đầu của diện tích sông, quy luật ấy không được phụ thuộc vào việc ta đo bằng km² hay dặm vuông. Nhà toán học Roger Pinkham chỉ ra từ năm 1961 rằng phân bố duy nhất không đổi khi nhân mọi số với cùng một hằng số chính là phân bố Benford. Năm 1995, Theodore Hill chứng minh thêm rằng khi trộn số liệu từ nhiều nguồn ngẫu nhiên khác nhau, kết quả có xu hướng hội tụ về Benford, giải thích vì sao bộ sưu tập hỗn tạp của Frank Benford lại khớp tốt đến thế.

Dùng định luật Benford để soi số liệu

Trong kiểm toán và điều tra tài chính

Từ thập niên 1990, nhà nghiên cứu kế toán Mark Nigrini phổ biến cách dùng Benford trong kiểm toán. Ý tưởng là các khoản như hoá đơn, chi phí, doanh thu theo từng giao dịch thường trải rộng nhiều bậc độ lớn, nên chữ số đầu của chúng thường gần Benford. Khi một người tự nghĩ ra số, họ có xu hướng tránh lặp lại, rải đều các chữ số, hoặc dồn số ngay dưới một ngưỡng phê duyệt. Những thói quen ấy để lại dấu vết thống kê.

Một kiểm toán viên không kết tội ai dựa trên Benford. Họ dùng nó để chọn chỗ cần đào sâu: phòng ban nào, nhà cung cấp nào, quý nào có phân bố lệch nhiều nhất, rồi mới đi đối chiếu chứng từ thật. Đây là công cụ khoanh vùng, không phải bằng chứng.

Phép thử "hai chữ số đầu"

Trong thực hành, người ta hay xét hai chữ số đầu (từ 10 đến 99) vì nó nhạy hơn. Một cột cao bất thường ở 49 hay 99 có thể gợi ý nhiều khoản bị đặt ngay dưới mốc 50 hay 100 đơn vị, ví dụ để tránh cần chữ ký cấp cao hơn. Lại một lần nữa, đó là câu hỏi để kiểm tra, không phải kết luận.

Trong khoa học và dữ liệu công

Các nhà nghiên cứu đã thử Benford trên số liệu dịch tễ, số liệu kinh tế vĩ mô, dữ liệu khí hậu, thậm chí kết quả thí nghiệm trong các bài báo khoa học. Kết quả lẫn lộn: có trường hợp sự lệch dẫn tới phát hiện lỗi thật, nhưng cũng có nhiều trường hợp lệch chỉ vì dữ liệu vốn không thuộc loại tuân theo Benford.

Khi nào định luật Benford không áp dụng

Đây là phần quan trọng nhất, và cũng là chỗ nhiều bài viết trên mạng bỏ qua. Định luật chỉ đúng gần đúng, và chỉ với những loại số liệu nhất định.

• Số được gán, không phải đo. Số điện thoại, mã bưu chính, số chứng minh, số hoá đơn đánh liên tục không có lý do gì tuân theo Benford.
• Số bị chặn trong khoảng hẹp. Chiều cao người trưởng thành tính bằng cm hầu hết bắt đầu bằng 1. Điểm thi thang 10 dồn ở 5 đến 9. Nhiệt độ cơ thể dồn ở 3.
• Số có ngưỡng tối thiểu hoặc giá cố định. Giá vé xe buýt, mức phí cố định, lương tối thiểu tạo ra cột cao ở vài chữ số.
• Bộ dữ liệu quá nhỏ. Vài chục con số không đủ để nói gì; độ lệch ngẫu nhiên đã lớn hơn độ lệch cần tìm.
• Số do quy trình đặc thù tạo ra. Nhiều nhà thống kê đã cảnh báo rằng số liệu được tổng hợp theo đơn vị hành chính có kích thước gần nhau thường lệch Benford một cách tự nhiên, nên không thể dùng Benford làm bằng chứng gian lận cho loại số liệu này.

Ngược lại, khớp Benford cũng không chứng minh số liệu là thật. Một người hiểu định luật vẫn có thể bịa ra số khớp đường cong. Vì vậy trong các cuộc điều tra nghiêm túc, Benford luôn đi cùng đối chiếu chứng từ, phỏng vấn và các phép kiểm tra khác.

Đo độ lệch thế nào cho tử tế

Nhìn biểu đồ thấy "hơi lệch" là chưa đủ. Người làm nghề thường dùng một trong các thước đo sau:

• Kiểm định khi bình phương: quen thuộc, nhưng với bộ dữ liệu rất lớn thì gần như mọi độ lệch nhỏ đều thành "có ý nghĩa thống kê", nên dễ báo động thừa.
• Độ lệch tuyệt đối trung bình (MAD): Nigrini đề xuất các ngưỡng tham khảo để xếp mức độ phù hợp từ "rất khớp" đến "không khớp", ít nhạy với cỡ mẫu hơn.
• So sánh nội bộ: so phân bố của một nhóm với các nhóm cùng loại trong chính tổ chức đó, thay vì chỉ so với đường cong lý thuyết.

Góc nhìn hôm nay: tự làm phép thử Benford trong 10 phút

Bạn có thể tự kiểm chứng định luật bằng bảng tính. Lấy một danh sách số trải rộng nhiều bậc, chẳng hạn dân số các quốc gia hay diện tích các hồ trên thế giới từ một nguồn công khai. Dùng hàm lấy ký tự đầu (trong Excel hoặc Google Sheets là LEFT), đếm số lần xuất hiện của từng chữ số từ 1 đến 9 rồi chia cho tổng. Bạn sẽ thấy cột 1 vượt trội.

Sau đó thử với một cột số "không nên" khớp, như chiều cao các bạn trong lớp hay giá các món trong một thực đơn. Sự khác biệt giữa hai biểu đồ dạy nhiều hơn mọi định nghĩa. Nếu muốn đọc thêm, cuốn Benford's Law: Applications for Forensic Accounting, Auditing, and Fraud Detection của Mark Nigrini là sách nhập môn chuẩn, còn bài gốc năm 1938 của Frank Benford hiện có thể tìm được trong các thư viện số.

Bài học mang về không chỉ là một công thức, mà là một thái độ: số liệu thật có "dáng" riêng của nó, và hiểu được dáng ấy giúp ta biết nên đặt câu hỏi ở đâu.